Cinemática

¿Qué es la cinemática?

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La cinemática es una disciplina que emerge de la física para el estudio del movimiento de los cuerpos, sin profundizar en las causas del movimiento o el por qué de sus cambios. Para ello, para la descripción del movimiento de cualquier cuerpo, este se conceptualiza como un "punto material", es decir, todo cuerpo se asume como un punto con masa, pero sin forma ni volumen. Esto permite un estudio y descripción de las trayectorias que describe un cuerpo y de cómo éstas cambian en el tiempo sin las complicaciones que conlleva su forma o tamaño. 

Para el desarrollo de los estudios del movimiento se tiene el “sistema de referencia”, entendiéndolo como un diagrama que “permite describir completamente los cambios de posición de un cuerpo en el espacio con respecto a puntos u objetos conocidos”. Este sistema de referencia se resume a un simple sistema cartesiano y el punto utilizado como referencia es ubicado en el origen del plano cartesiano. De esta forma, se puede obtener una relación de la trayectoria de una partícula (punto material) en función del tiempo (Posición vs Tiempo). Ésta función es derivada para obtener una función de la velocidad (razón de cambio de la posición de un móvil) y ésta para obtener una función de la aceleración (razón de cambio de la velocidad con respecto al tiempo).

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Tipos de movimiento

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El movimiento de una partícula se describe según las características de la velocidad y la aceleración, entendiéndolas como magnitudes vectoriales (con magnitud y dirección):

• Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU): Cuando la aceleración es nula, por lo que la velocidad permanece constante a lo largo del tiempo, manteniendo su módulo(valor) y dirección.
• Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado (MRUV): Si la aceleración es constante y con igual dirección que la velocidad, por lo que la velocidad cambiará en iguales proporciones en iguales intervalos de tiempo. Este tipo de movimiento puede ser:
• MRUA o acelerado, cuando la aceleración y la velocidad, además de la misma dirección, presentan el mismo sentido.
• MRUR o retardado, cuando la aceleración y la velocidad, además de la misma dirección, presentan sentidos opuestos.
• Movimiento Circular Uniforme (MCU): cuando la aceleración es constante con dirección perpendicular a la velocidad. Por ello, el módulo de la velocidad es constante y cambia su dirección constantemente para que el cuerpo describa una circunferencia o un segmento de circunferencia.

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Elementos para el estudio del movimiento

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Para describir completamente las ecuaciones del movimiento y facilitar su análisis, es conveniente definir cada una de las magnitudes físicas involucradas:

• Posición: 

Es el punto en el espacio que ocupa el objeto de estudio. La posición es una magnitud vectorial (con módulo y dirección) que usualmente se representa con la letra “” o con sus componentes espaciales “” y “”, donde la unidad para medir la posición de un cuerpo con respecto a un punto de referencia es el metro (m)

• Tiempo: 

Es una magnitud escalar que define la duración de un evento. El tiempo usualmente es denotado con la letra “t” y su unidad es el segundo (s)

• Desplazamiento: 

Es una magnitud vectorial que define el cambio de posición del cuerpo. La unidad física para medir el desplazamiento es el metro (m)

• Recorrido o trayectoria: 

Es el conjunto de puntos sucesivos generados por los cambios infinitesimales de posición en el tiempo. El recorrido es una magnitud escalar, ya que no tiene una dirección definida, usualmente es representado por la letra “d” y su unidad física es el metro (m).

• Velocidad: 

Es una magnitud vectorial que define el desplazamiento de un cuerpo durante un cambio de tiempo.  La velocidad se simboliza con el vector “” y su unidad de medida es el metro sobre segundo (m/s)

En el caso del MRU esta ecuación puede simplificarse a la siguiente:

;  que puede ser modificada con  y con  para obtener   

• Rapidez: 

Es una magnitud escalar asociada al módulo de la velocidad, aunque viene definida por la distancia recorrida durante un intervalo de tiempo. La unidad de medida de la rapidez es el metro sobre segundo (m/s) y se diferencia de la velocidad porque esta última es un vector.

En el caso del MRU, se puede expresar la rapidez en función de la distancia recorrida d y el tiempo t

• Aceleración: 

Es la magnitud vectorial que define el cambio de la velocidad durante un cambio de tiempo. Los cambios de la velocidad pueden ser de magnitud, de dirección o ambas a la vez. La unidad física de la aceleración es el metro sobre segundo cuadrado (m/s2)

Para el MRUV esta ecuación puede reexpresarse de la siguiente forma:

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Otros tipos de movimiento:

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• El movimiento parabólico

También llamado “Movimiento en el plano”, debe su nombre a la trayectoria que describe un proyectil (punto material) cuando la aceleración es constante (sin cambiar su módulo o dirección) y está en el mismo plano que la velocidad. En este, el componente de la velocidad, en la dirección de la aceleración, se comporta como un movimiento rectilíneo uniformemente variado. Mientras que la componente perpendicular se comporta como un movimiento rectilíneo uniforme. De este modo, al componer las sucesivas posiciones (x,y) que presenta el proyectil, se obtiene una línea parabólica.

Dos ejemplos prácticos, que suelen desarrollarse y estudiarse por separado, son: el lanzamiento de proyectiles y el lanzamiento horizontal. En ambos ejemplos, la aceleración de la gravedad es la única aceleración presente en el sistema y asumida como constante en la superficie de la Tierra.

• El efecto Coriolis

La trayectoria descrita por el aire en la rotación las tormentas y tornados (diferente en el hemisferio norte que en el hemisferio sur) es un ejemplo de este tipo de movimiento, donde la aceleración es constante pero no está en el mismo plano que la velocidad y la trayectoria.

• Movimiento Armónico Simple (MAS)

En el movimiento armónico simple se presenta cuando existe una aceleración que cambia de magnitud y dirección debido a la presencia de una fuerza restauradora, provocando un movimiento oscilatorio con una trayectoria de vaivén. Un ejemplo representativo es un péndulo simple, oscilando de un lado a otro con su punto de equilibrio en el centro de la trayectoria (punto donde por un instante la aceleración es núla y cambia de sentido). En este caso, La aceleración y la velocidad son funciones sinusoidales del tiempo.

Cifras Significativas

¿Qué son las cifras significativas?

En clase de física y química es frecuente que un alumno que está resolviendo un problema numérico pregunte por el número de decimales que debe escribir como resultado de una operación aritmética. También es frecuente que, ante la duda, presente un resultado final como 3,0112345 · 10^(-6), es decir, escriba todos los decimales que la calculadora le ofrece.
Las cifras significativas de un número son aquellas que tienen un significado real y, por tanto, aportan alguna información. Toda medición experimental es inexacta y se debe expresar con sus cifras significativas.

¿Cuántas cifras significativas tiene un valor?

Reglas para establecer las cifras significativas de un número dado (www.escritoscientificos.es).

• En números que no contienen ceros, todos los dígitos son significativos. 

Por ejemplo:
3,14159 → seis cifras significativas → 3,14159
5.694 → cuatro cifras significativas → 5.694

• Todos los ceros entre dígitos significativos son significativos. 

Por ejemplo:
2,054 → cuatro cifras significativas → 2,054
506 → tres cifras significativas → 506

• Los ceros a la izquierda del primer dígito que no es cero sirven solamente para fijar la posición del punto decimal y no son significativos. 

Por ejemplo:
0,054 → dos cifras significativas → 0,054
0,0002604 → cuatro cifras significativas → 0,0002604

• En un número con dígitos decimales, los ceros finales a la derecha del punto decimal son significativos. 

Por ejemplo:
0,0540 → tres cifras significativas → 0,0540
30,00 → cuatro cifras significativas → 30,00

• Si un número no tiene punto decimal y termina con uno o más ceros, dichos ceros no serán significativos.

¿Cómo afectan los resultados de los cálculos?

www.fisicalab.com

Suma y Resta

El resultado de un cálculo debe tener la misma cantidad de cifras decimales que la menor cantidad de cifras decimales que tengan los datos involucrados.
Ejemplos

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Multiplicación y División

El resultado de un cálculo debe tener la misma cantidad de cifras significativas que la menor cantidad de cifras significativas que tengan los datos involucrados.
Ejemplos

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Próximamente dejaré enlaces con un vídeo explicativo de esta publicación y vídeos de ejercicios resueltos paso a paso.

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Errores e Incertidumbre

Errores

En la literatura técnica y científica, el término error se utiliza frecuentemente con dos significados bastante diferentes. En algunos casos se utiliza para cuantificar la diferencia entre el resultado de una medida y el considerado como valor de la misma (valor verdadero, valor real o estándar) mientras que en otras se utiliza para denominar la incertidumbre del resultado de una medida, es decir, para cuantificar la imperfección del método e instrumento de medida empleado. (Universidad de Jaén)

El error se define, tal como habíamos dicho, como la diferencia entre el valor verdadero y el obtenido experimentalmente. Los errores no siguen una ley determinada y su origen está en múltiples causas. Atendiendo a las causas que lo producen, los errores se pueden clasificar en dos grandes grupos: errores sistemáticos y errores aleatorios. (Técnicas Auxiliares de Laboratorio )

Errores Sistemáticos

Es constante a lo largo de todo el proceso de medida y, por tanto, afecta a todas las medidas de un modo definido y es el mismo para todas ellas. Estos errores tienen siempre un signo determinado y las causas probables pueden ser:

• Errores instrumentales (de aparatos); por ejemplo, el error de calibrado de los instrumentos. 
• Error personal: Este es, en general, difícil de determinar y es debido a las limitaciones de carácter personal. Como, por ejemplo, los errores de paralaje, o los problemas de tipo visual. 
• Errores de método de medida, que corresponden a una elección inadecuada del método de medida; lo que incluye tres posibilidades distintas: la inadecuación del aparato de medida, del observador o del método de medida propiamente dicho.

Errores Aleatorios

Se deben a las pequeñas variaciones que aparecen entre observaciones sucesivas realizadas por el mismo observador y bajo las mismas condiciones. Las variaciones no son reproducibles de una medición a otra y se supone que sus valores están sometidos tan sólo a las leyes del azar y que sus causas son completamente incontrolables para un observador.

Los errores aleatorios poseen, en su mayoría, un valor absoluto muy pequeño y si se realiza un número suficiente de medidas se obtienen tantas desviaciones positivas como negativas. Y, aunque con los errores aleatorios no se pueden hacer correcciones para obtener valores más concordantes con los reales, si pueden emplearse métodos estadísticos, mediante los cuales se pueden llegar a algunas conclusiones relativas al valor más probable en un conjunto de mediciones.

La Exactitud vs La Precisión

La exactitud se define como el grado de concordancia entre el valor “verdadero” y el experimental. De manera que un aparato es exacto si las medidas realizadas con él son todas muy próximas al valor “verdadero” de la magnitud medida. Mientras tanto, la precisión hace referencia a la concordancia entre las medidas de una misma magnitud realizadas en condiciones sensiblemente iguales. De modo que, una aparato será preciso cuando la diferencia entre diferentes mediciones de una misma magnitud sean muy pequeñas. 

 La exactitud implica, normalmente, precisión, pero la afirmación inversa no es cierta, ya que pueden existir aparatos muy precisos que posean poca exactitud, debido a errores sistemáticos, como el “error de cero”, etc. 

Cálculo de Errores

Cuando indiquemos el resultado de una medida (o de un conjunto de medidas) de una magnitud, tendremos que indicar, siempre, el grado de incertidumbre de la misma, para lo cual acompañamos el resultado de la medida de sus error absoluto; expresando el resultado así 

x ± ∆x

Donde  ∆x es el error absoluto () de la medida x.

El error absoluto nos da una medida de la desviación, en términos absolutos, respecto al valor “verdadero”. No obstante, en ocasiones nos interesa resaltar la importancia relativa de esa desviación. Para tal fin, se usa el error relativo.

Existen diferentes formas para determinar el error absoluto, en este post nos centraremos en tres de ellas, que describiré a continuación desde la menos precisa a la mejor recomendada:

• La apreciación del instrumento: La apreciación es la menor variación de la medida que se puede registrar con un instrumento. En aquellos instrumentos que tienen una escala, el valor entre dos divisiones consecutivas es la apreciación. En los instrumentos digitales la apreciación es el menor cambio que se registra en él. (aulas.uruguayeduca.edu.uy)
• Datos en el Manual o Instructivo del instrumento: especificaciones del fabricante, datos provenientes de calibraciones y otros informes, e incertidumbres asignadas a datos de referencia tomados de manuales.
• Evaluaciones estadísticas: se pueden basar en cualquier método estadístico válido de tratamiento de datos, como por ejemplo, calcular la desviación típica de la media de una serie de observaciones independientes realizadas bajo condiciones de medida definidas, usar el método de ajuste por mínimos cuadrados con el fin de estimar el valor de los parámetros y sus desviaciones típicas, o llevar a cabo un análisis de varianzas con el fin de identificar y cuantificar los efectos aleatorios en determinados tipos de medidas.

Una de las herramientas estadísticas más usadas es la desviación estándar:

Donde son las desviaciones de cada medida calculadas según el concepto de error absoluto () y la N son el total de medidas realizadas. Otra forma utilizada es la desviación media:

Por otro lado, El error relativo se define como el cociente entre el error absoluto y el valor “verdadero”:

 

Y por último tenemos el error porcentual que se expresa como:

EJEMPLO:

Un estudiante mide la longitud de su lápiz con una regla escolar, repitiendo la medida 10 veces y resultando en la siguiente lista de datos:

1. 14,6 cm
2. 14,7 cm
3. 14,6 cm
4. 14,7 cm
5. 14,8 cm
6. 14,8 cm
7. 14,8 cm
8. 14,7 cm
9. 14,7 cm
10. 14,6 cm

Empleando las ecuaciones anteriormente descritas se obtendrá que:

De modo que una expresión final que represente coherentemente todas las medidas realizadas es:

Manejo de Incertidumbres en los Cálculos

Dadas tres mediciones a, b y c, que cumplen con la expresión "x ± ∆x", se deben seguir las siguientes reglas:

• Si   entonces:

• Si   entonces:



• Si   entonces:

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Notación Científica

Uso:

Es una forma de aproximar valores MUY grandes, como la distancia que existe entre dos galaxias, o MUY pequeños, como el diámetro del núcleo atómico, y usar expresiones intuitivamente mas fáciles de reconocer y usar.

• Distancia entre Vía Láctea y Andrómeda: 2,5 x 10^6 Años Luz = 2,37 x 10^19 Km = 2,37 x 10^22 m = 23 700 000 000 000 000 000 000 m
• Diámetro del núcle atómico: 10^(-15) m = 0,000 000 000 000 001 m 

Reglas de la notación científica:

Una expresión entre 1 y 10 (sin llegar a ser 10)

Cualquier valor puede rexpresarse a notación científica, procurando que la expresión final sea un valor entre 1 y 10, sin llegar a ser 10, multiplicado por una potencia de base 10. En conjuntos sería este conjunto [1;10).

Ejemplos:

• 9 564 = 9,564 x 10^3
• 324 528 910 = 3,245 289 10 x 10^8
• 0,000 023 5 = 2,35 x 10^(-5)
• 0,001 002 40 = 1,002 4 x 10^(-3)

Potencia de Base Diez (10^x)

Una parte esencial de la notación científica es la potencia de base diez. El exponente de esta potencia va asociado a valores grandes o pequeños, de modo que puede ser un exponente entero positivo o negativo, respectivamente.

¿Cómo reconocer el signo del exponente?

Debes identificar bien si estas manejando una magnitud grande o pequeña.

• Magnitudes Grandes: Exponente positivo. Indicando cuantas unidades fue movida la como decimal, hacia la izquierda, para alcanzar un valor entre [1 , 10)
  Por ejemplo: la velocidad de la luz es 299 792 458 m/s = 3,00 x 10^8 m/s
• Magnitudes Pequeñas: Exponente negativo. Indicando cuantos decimales fue movida la como decimal, hacia la derecha, para alcanzar un valor entre [1 , 10)
  Por ejemplo: el grosos del pelo humano promedio es 0,0092 mm^2 = 9,2 x 10^(-3) mm^2

Truncamiento y Redondeo

Cuando un valor es re-expresado en notación científica no se estila dejar todos los dígitos involucrados. Imaginen el ejemplo del grosor del cabello humano como 000 9,2 x10^(-3) mm^2, o el ejemplo de la velocidad de la Luz como 2,997 924 58 x 10^8 m/s, perdería el uso para el cual se inventó la notación científica. Por ello se aplican estas dos técnicas, que apoyan el descarte de dígitos conservando la mejor aproximación posible.

Truncamiento: 

Consiste en la eliminación de las cifras decimales menos significativas de una expresión (las más a la derecha).
Por ejemplo, si deseamos truncar la expresión 2,997 924 58 a dos cifras decimales, nos quedará 2,99

Redondeo:

Es una variante del truncamiento que permite evidenciar una mejor aproximación en la expresión resultante del truncamiento. Para esto solo existen dos posibilidades de redondeo:

• Redondeo aumentando en una unidad: se realiza cuando la cifra decimal truncada más cercana a la coma decimal es igual o mayor que 5, sumando una unidad a la cifra contigua a dicha cifra truncada.
  Por ejemplo: si deseamos redondear la expresión 1,987 285 924 58 a dos cifras decimales nos queda 1,99. En este caso, la cifra decimal truncada mas cercana a la coma decimal era el 7 (1,987 285 924 58), por lo que a la cifra siguiente se le sumó una unidad (8+1=9).
• Redondeo sin cambios: se realiza cuando la cifra decimal truncada más cercana a la coma decimal es menor que 5, resultando en un truncamiento corriente.
  Por ejemplo: si deseamos redondear la expresión 1,982 955 924 58 a dos cifras decimales nos queda 1,98. En este caso, la cifra decimal truncada mas cercana a la coma decimal era el 2 (1,982 955 924 58), por lo que a la cifra siguiente no sufre cambio alguno.

Es importante resaltar que el redondeo no es acumulativo. Es decir, solo se aplica modificación con la cantidad de cifras decimales que se pide redondear. Por ejemplo:

• 19,48 = 19,5 Si se desea redondear a una cifra decimal.
• 19,48 = 19 Si se desea redondear sin cifras decimales.

Operaciones con notación científica

Existen algunas estrategias que permiten realizar la operación matemáticas básicas de forma elegante, sencilla y eficiente

Suma o Resta (o suma algebraica en general)

Se ubica el término cuya potencia de base diez posea el mayor exponente y se re-expresan los otros términos en función del mayor exponente ubicado. Se suman los factores re-expresados sin las potencias.

Ejemplo

3,24 x 10^5 + 3,894 x 10^1 - 8,75 x 10^(-8)

=
3,24 x 10^5 + 0,000 389 4 x 10^5 - 0,000 000 000 000 875 x 10^5

=

(3,24 + 0,000 389 4 - 0,000 000 000 000 875) x 10^5

=

3,240 389 399 99 125 x 10^5

Si deseamos el resultado redondeado a dos cifras decimales nos quedará:
3,24 x 10^5

Multiplicación

Se multiplican términos semejantes, es decir, potencias con potencias y factores con factores.

Ejemplo

3 x 10^4 x 2 x 10^(-4) x 5 x 10^8

= 

3 x 2 x 5 x 10^4 x 10^(-4) x 10^8

=

30 x 10^(4-4+8)

=

30 x 10^8 = 3 x 10^7

División

Se procede de las misma forma que en la multiplicación, se dividen los términos semejantes, es decir, potencias con potencias y factores con factores.

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